Lineare Interpolation in zwei Dimensionen
Wir beginnen wieder mit $N$ Stützstellen $x_i$ entlang der x-Achse und $M$ Stützstellen entlang der y-Achse $y_j$. Es ist $0\leq i < N$ und $0 \leq j < M$. Jeder Stützstelle $(x_i,y_j)$ ist ein Wert $F_{i,j}$ zugeordnet.
Erneut wählen wir (wie in der folgenden Abbildung angedeutet) einen Ausschnitt, in diesem Fall ein Teil des Gitters, aus, und ermitteln zuerst dort die Interpolationsfunktion. Im Prinzip gibt es zwei Möglichkeiten wie vorgegangen werden kann, welche letztlich aber äquivalent zueinander sind.
Variante 1 – Gleichungssystem lösen
Im zweidimensionalen ist die lineare Gleichung welche im ausgewählten Teilabschnitt die gesuchte Interpolationsfunktion beschreibt gegeben durch
\[ f_{i,j}(x,y) = a_{0,0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+a_{1,1}xy \]
Hier sind vier unbekannte zu bestimmen. Glücklicherweise kennen wir die Funktionswerte an vier Stützstellen und können somit vier Gleichungen ansetzen:
\[a_{0,0}+a_{1,0}x_i+a_{0,1}y_j+a_{1,1}x_i y_j =F_{i,j}\]
\[a_{0,0}+a_{1,0}x_{i+1}+a_{0,1}y_{j}+a_{1,1}x_{i+1} y_{j} =F_{i+1,j}\]
\[a_{0,0}+a_{1,0}x_{i}+a_{0,1}y_{j+1}+a_{1,1}x_{i} y_{j+1} =F_{i,j+1}\]
\[a_{0,0}+a_{1,0}x_{i+1}+a_{0,1}y_{j+1}+a_{1,1}x_{i+1} y_{j+1} =F_{i+1,j+1}\]
Auflösen nach den Koeffizienten $a_{0,0}$, $a_{0,1}$, $a_{1,0}$ und $a_{1,1}$ liefert uns für diesen Teil des Stützpunktgitters die gesuchte Interpolationsfunktion.
Variante 2 – Stückweises zusammensetzen
Diese Variante wendet im Prinzip einfach mehrmals die eindimensionale Interpolation an. Insofern werde ich mich hier kurz halten. In einem ersten Schritt wird 1D-linear entlang einer der Hauptachsen interpoliert (die Reihenfolge ist dabei egal):
Auf diese Weise werden zwei neue Stützstellen mit bekanntem Funktionswert generiert. Der zweite Schritt ist schließlich eine erneute 1D-lineare Interpolation – diesmal aber zwischen den beiden gerade neue erhaltenen Datenpunkten:
Somit lässt sich für jeden Punkt $(x,y)$ der Wert der Interpolationsfunktion ermitteln.
Für jede der zwei Varianten gilt wieder – die Interpolationsfunktion für den gesamten Bereich $f(x,y)$ setzt sich wieder aus den Interpolationsfunktionen der Zwischenbereiche $f_{i,j}$ zusammen.
Und damit haben wir auch das Ende dieses Artikels erreicht.
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